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Parliamo Di Aritmetica

Intelligenza Numerica
Con l’espressione Intelligenza Numerica intendiamo riferirci alla capacità innata di “intelligere”, capire, interpretare, ragionare, attraverso il sistema cognitivo dei numeri e delle quantità; tale capacità permea il nostro sistema di interpretazione di eventi e fenomeni di diversa complessità. Anche a livello di linguaggio la distinzione singolare/plurale avverte che si sta sviluppando una capacità di quantificare, di riconoscere le quantità.
Lo Sviluppo Della Conoscenza Numerica
Una delle prime teorie cognitive sulla genesi del concetto di numero è opera di Piaget (Piaget e Szeminska, 1941), secondo cui esiste un rapporto inscindibile tra strutture di intelligenza generale ed evoluzione della competenza numerica; secondo questo autore, il concetto di numero si costruisce nel momento in cui l’intelligenza del bambino passa dal livello di pensiero irreversibile preoperatorio, al livello del pensiero operatorio concreto reversibile, ovvero intorno ai 6 anni. Tale passaggio consente di giungere a padroneggiare operazioni logiche (che rendono possibile la coordinazione dei dati seguendo nessi diversi) e operazioni spazio-temporali (che consistono nel saper collegare in modi diversi dati di ordine spaziale e temporale e permettono di riconoscere come invarianti i rapporti spaziali di distanza, lunghezza, area, volume o quantità fisiche come peso, durata, velocità); sono le operazioni logiche che permettono l’utilizzo di nozioni di classe, serie, numero.
In base a questa teoria, nello stadio prelogico, saper produrre verbalmente una sequenza di numeri non significa possedere il concetto di numero, di quantità, capirne il significato. Prima di arrivare a comprendere la corrispondenza tra ogni parola-numero e ogni elemento di un insieme, prima di capire la corrispondenza tra una sequenza numerica e la quantità complessiva, il bambino deve essere in grado di svolgere operazioni logiche di classificazione e seriazione.
Gli stadi di sviluppo che il bambino attraversa per arrivare a questo risultato sono 3:

La valutazione cardinale è sottomessa all’esperienza percettiva e la seriazione consiste nel mettere un termine vicino all’altro senza rispettare le relazioni di ordine (3/4 anni);
Ancora sottomesso all’esperienza percettiva, il bambino inizia a formare gruppi equivalenti e ad ordinare spontaneamente (5 anni);
Piena coordinazione del concetto di equivalenza (classe: essere incluso in) e di relazione asimmetrica (serie) (6 anni).

Il modello piagetiano è stato fortemente messo in discussione in studi successivi, sia rispetto alla scansione degli stadi di sviluppo delle abilità numerica, sia rispetto alle formulazioni linguistiche dei compiti proposti; Butterworth, Girelli e Lucangeli hanno ad esempio dimostrato l’effetto stroop numerico: il bambino ha difficoltà a riconoscere e comparare quantità numeriche se il compito presenta condizioni percettivamente e/o quantitativamente ambigue, ad esempio fanno fatica a riconoscere quale fra due numeri sia più grande se uno è scritto in dimensioni maggiori dell’altro oppure fanno fatica a riconoscere come uguali quantità che si riferiscono a oggetti di grandezza diversa, come elefanti o ciliegie.
Robbie Case (2000) ha analizzato il passaggio dal conteggio alla comprensione delle relazioni esistenti fra i numeri del sistema numerico. La sua idea fondamentale è che il senso del numero dei bambini, dipenda dalla presenza di schemi organizzatori denominati “strutture concettuali centrali”, ovvero reti di concetti e relazioni che sottostanno ai compiti che i bambini devono padroneggiare. Lo sviluppo del senso del numero si articolerebbe nei seguenti momenti:

Consolidamento di due schemi primitivi, uno verbale, digitale e sequenziale (conteggio) e l’altro spaziale e analogico (permette di individuare situazioni di numerosità relativa – sono di più/di meno- e di operatività concreta – aggiungere/togliere -);
Interconnessione dei due schemi precedenti per formarne uno solo, costituendo così una linea mentale del conteggio in cui i movimenti avanti o indietro corrispondono all’applicazione del + (più) e del – (meno);
Differenziazione di nuovi elementi, resa possibile dalle rappresentazioni delle proprietà numeriche (unità, decine, centinaia…)

Il dibattito attuale si focalizza sull’indipendenza del sistema di elaborazione del numero dal sistema di elaborazione del linguaggio. E’ vero che anche le quantità si esprimono attraverso il canale uditivo-vocale usando il codice verbale e attraverso il canale visivo-gestuale usando modalità diverse: arabica, grafico-analogica e gestuale; in particolar modo, nel codice verbale anche i numeri, come le parole, hanno un rapporto convenzionale con il significato che sottendono, con l’astratto che è la quantità (l’unico motivo per cui la quantità contenuta in un insieme di sette torte è definita con il termine “sette” è infatti una convenzione); anche quando vengono scritti, i numeri sono veicolati dal codice verbale arabico, il cui lessico è rappresentato da segni grafici che stanno in rapporto convenzionale con le quantità corrispondenti. Tuttavia, dati sperimentali relativi ad abilità numeriche di neonati (quindi non verbali), hanno portato a formulare ipotesi secondo cui l’elaborazione del numero nasce non solo da operazioni di processazione linguistico-simbolica, ma anche da operazioni d quantificazione, operazioni cognitive mediate dall’attivazione di una rappresentazione mentale della quantità di tipo analogico (Dehaene, 1992) e perciò indipendenti da abilità linguistiche.
I processi di quantificazione non si basano su competenze che dipendono da abilità di conteggio ma su capacità specifiche come il subitizing e la stima di grandezze. Il subitizing è quella capacità di riconoscere immediatamente, intuitivamente e correttamente la quantità di un insieme composto da n elementi, senza contarli verbalmente, capacità efficiente solo nei casi di insiemi di pochi elementi (4/6 negli adulti).
Per quantità più elevate entra in gioco il meccanismo parallelo al subitizing, ovvero la stima di grandezza, processo di riconoscimento di quantità superiori a 6-7 elementi, processo meno preciso ed accurato.
La conoscenza numerica preverbale
Numerose ricerche hanno dimostrato che i neonati discriminano tra diverse serie di elementi in base alla loro numerosità. Gallisten e Gelman hanno ipotizzato che le basi della competenza numerica si trovino nei meccanismi preverbali di calcolo, nel ragionamento aritmetico, nella rappresentazione mentale della quantità. Attraverso l’uso del paradigma sperimentale dell’abituazione, Strauss e Curtis hanno rilevato come bambini di 10-12 mesi riconoscono la variazione di quantità di insiemi di 3 o 4 elementi. ontag e Keating hanno confermato che addirittura neonati di 1/12 giorni di vita differenzino insiemi di 2 e 3 elementi. Questi riscontri sperimentali permettono di ipotizzare che esista una competenza numerica non verbale, mediata da una rappresentazione mentale della quantità.
Sviluppo delle abilità di conteggio
Per poter imparare a contare, il bambino deve mettere in relazione i concetti-numero con le parole-numero, deducendo il significato corretto di queste ultime. Queste parole però non si riferiscono a un significato univoco, ma a proprietà di insiemi di elementi. Il passaggio dalle competenze preverbali alle parole-numero è descritto in letteratura da due teorie: La teoria dei principi di conteggio, elaborata da Gelman e Gallisten, fondata sull’idea che i bambini piccoli possiedono un concetto innato di numero che evolve nell’acquisizione delle procedure di calcolo attraverso 3 principi specifici: quello della corrispondenza uno a uno, per cui ad ogni elemento dell’insieme contato deve corrispondere una sola parola-numero; quello dell’ordine stabile, per cui esiste la capacità di ordinare le parole-numero in una sequenza fissa che riproduce gli elementi da contare; quello della cardinalità, per cui l’ultima parola-numero usata nel conteggio rappresenta la numerosità degli elementi contati.
Secondo questa teoria, la competenza numerica non verbale fornisce la base per l’acquisizione dell’abilità di conteggio verbale; sarebbe dunque la capacità innata di riconoscere la quantità ad innescare la spinta evolutiva che serve a padroneggiare le competenze più complesse alla base dei meccanismi di conteggio verbale.
Gelman e Gallister si sono concentrati sullo studio dello sviluppo della conoscenza numerica preverbale, evidenziando come bambini di 30 mesi sappiano già discriminare tra disegni con 2 o 3 oggetti; come neonati di 5/6 mesi sappiano discriminare tra serie di 3 o 4 elementi; come neonati di 5 mesi riescano a compiere semplici operazioni di tipo additivo (1+1) e sottrattivo (2-1).
La teoria dei contesti diversi di Fuson attribuisce pari valore alle strutture innate e alle competenze apprese, considerando una costante interazione fra le due componenti. I principi di conteggio e calcolo sarebbero perciò sviluppati attraverso ripetuti esercizi per imitazione, pur rispondendo a funzioni strutturali innate e specifiche. Secondo questa studiosa, perché i principi enunciati da Gelman e Gallistel siano usati correttamente, il bambino deve approfittare di ripetuti momenti di apprendimento, e questo può richiedere anche molto tempo e un ambiente ricco di opportunità. I bambini infatti sanno riconoscere i diversi aspetti del numero: lessicali (i numeri si scrivono, si dicono…), semantici (relativi alle quantità) e funzionali di calcolo e conteggio.
Secondo la Fuson i diversi aspetti e significati dei numeri sono raggiunti quando il bambino riconosce che ogni parola-numero si riferisce al totale delle unità che la precedono compresa se stessa (contare nove vuol dire riferirsi agli otto elementi precedenti il nono e al nono stesso) e quando capisce che la posizione di una unità entro una serie di numeri ha il valore “più uno” in relazione all’unità che la precede e di “meno uno” rispetto a quella che la segue. Per questa studiosa ci sono tre concetti interrelati alla base dell’acquisizione della capacità di contare: la sequenza numerica, la corrispondenza uno a uno tra le parole numero e gli elementi contati, il valore cardinale dei numeri.
La corrispondenza uno a uno causa spesso errori del tipo “parola-indicazione”, dove il bambino indica un oggetto senza pronunciare la parola numero o pronunciando più parole numero; errori “indicazione-oggetto”, dove il conteggio e l’indicazione sono coordinati ma l’indicazione non è precisa (salta un oggetto o lo indica più volte); esistono poi errori più generali, quando ad esempio il bambino finisce di contare e poi inizia a indicare nuovamente gli oggetti contati. Per quanto riguarda il valore cardinale delle parole-numero, la Fuson sostiene che i bambini arrivino a riconoscerlo intorno ai 4 anni, prima di questo momento se si chiede loro di indicare il numero di oggetti di un insieme, è probabile che rispondano con l’ultima parola della conta a cui sono arrivati, senza capire che l’ultimo numero si riferisce alla cardinalità dell’insieme stesso. Fuson inoltre individua 5 livelli evolutivi che descrivono la costruzione e l’integrazione dei concetti numerici di sequenza, di conta, di valore cardinale; ad ogni livello corrisponde una struttura numerica concettuale riferita ai diversi significati delle parole-numero:

la sequenza di numeri è usata come stringa di parole;
le parole-numero sono distinte ma la sequenza è unidirezionale, in avanti, ed è prodotta partendo dall’uno;
la sequenza è producibile a partire da qualsiasi numero della serie che è governata da relazioni numeriche di subito, prima, dopo…
le parole-numero della sequenza sono trattate come entità distinte che non ricorrono più a elementi concreti di corrispondenza biunivoca;
la sequenza è usata come catena bidirezionale, sulla quale e attraverso la quale si opera in modi distinti.

Seguendo questa teoria altri studi hanno approfondito i cambiamenti qualitativi nei sistemi di conteggio a età diverse; Steffe ad esempio sostiene che il concetto di numero sia definibile come il prodotto dell’interiorizzazione e reinteriorizzazione del concetto di oggetto e dell’abilità di conta. I livelli di sviluppo rintracciati sono cinque, caratterizzati da diversità qualitative nei tempi di conta e nello sviluppo di strutture concettuali riguardanti la conta stessa: stadio dello schema di conta percettivo; stadio dello schema di conta figurativo (uso delle dita); stadio della serie iniziale dei numeri; stadio della serie dei numeri con relazioni implicite in inclusione; stadio della serie dei numeri con relazioni esplicite di inclusione.

Lo Sviluppo Della Capacità Di Scrittura E Lettura Dei Numeri
Il processo di acquisizione della scrittura del numero è stato indagato in psicologia, nell’ambito degli studi relativi allo sviluppo della competenza simbolica. Piaget sosteneva che la capacità di rappresentare un significato tramite un significante si sviluppa a partire dal secondo anno di età. Tra i 2 e i 7 anni l’attività simbolica del bambino comprende la produzione di significanti individuali legati al referente da una relazione di somiglianza che stabilisce il soggetto (simboli), e la produzione di significanti collettivi connessi al significato di una convenzione sociale (segni). L’acquisizione del segno implica il passaggio dall’uso personale a quello convenzionale, inizialmente esso è usato come simbolo assumendone le caratteristiche e solo poi la relazione tra significante e significato diviene stabile e condivisa. Le notazioni matematica, in quanto segni, seguono tali condizioni di sviluppo.
Studi recenti (Gardner, Karmiloff-Smith) hanno confermato la rilevanza dell’età prescolare per lo sviluppo della competenza simbolica. Gardner ipotizza che a 2 anni il bambino acquisisca la capacità di ricoprire diversi ruoli e a 3 quella di produrre simboli analogici per giungere a rappresentare gli aspetti quantitativi della realtà intorno ai 4 anni; l’accesso al sistema simbolico rotazionale avverrebbe a 5-7 anni. Karmiloff-Smith evidenzia che la comprensione del sistema di notazione come oggetto di conoscenza, precede la comprensione della notazione come strumento comunicativo-referenziale. Già a 4 anni i bambini discriminano le diverse espressioni simboliche in base ai vincoli di ogni sistema di appartenenza (la ripetizione di elementi identici è appropriata per scrivere un numero ma non per scrivere parole); a 5-6 anni il bambino sa manipolare i vincoli dei sistemi simbolici ma solo dopo i 6 anni, con l’acquisizione della consapevolezza di tale conoscenza e la capacità di resoconto verbale, usa le notazioni come strumenti comunicativo-referenziali.
Per quanto riguarda l’acquisizione della matematica scritta, il modello di Hierbert prevede lo sviluppo gerarchico di cinque processi cognitivi specifici:

connettere i simboli ai referenti: il bambino deve stabilire un collegamento tra il simbolo scritto del numero e la relativa quantità e un collegamento tra segni operatori scritti e operazioni sulle quantità. La conoscenza del significato dei segni non implica la padronanza dell’algoritmo dell’operazione e del risultato, consiste piuttosto nella comprensione dell’azione da svolgere sulla quantità mostrata.
sviluppare procedure di manipolazione del simbolo: le azioni sui referenti concreti vengono eseguite, osservate e trasferite al mondo dei simboli; l’addizione a questo livello implica che l’azione sui referenti (unire) venga rappresentata simbolicamente attraverso la combinazione delle cifre che stanno nella stessa posizione (unità con unità, decine con decine…).
elaborare procedure per simboli: le regole note per la manipolazione dei simboli sono elaborate riconoscendo che sono trasferibili ad altre situazioni, utilizzandole per sviluppare nuove procedure (l’addizione si basa sulla scomposizione e ricomposizione degli addendi e l’alunno può sviluppare una procedure per la sottrazione che si basa sullo stesso principio).
automatizzare le procedure di manipolazione dei simboli : tale processo è indispensabile per le competenze di calcolo e consente di liberare lo spazio mentale per altri compiti cognitivi.
costruire sistemi simbolici più astratti: a partire dai sistemi simbolici familiari si costruiscono simboli e regole più astratte con lo scopo di costruire significati dei simboli con referenti che non sono più concreti.

Secondo questa teoria l’elemento centrale della competenza nella matematica scritta è la padronanza del rapporto tra simbolo e referente, ossia la capacità di ritornare al significato partendo dalle rappresentazioni scritte.
Come possiamo facilmente constatare, esiste una grande variabilità nel formato grafico che i bambini usano per esprimere la quantità; Hughes propone di classificare tale variabilità espressiva in quattro categorie di rappresentazione:

idiosincratica: priva di notazioni comprensibili per l’osservatore;
pittografica: riproduce figurativamente gli oggetti della collezione;
iconica: segni grafici posti in corrispondenza biunivoca con gli oggetti;
simbolica: costituita da numeri arabici veri e propri.

A 3-4 anni, i bambini usano molto la notazione idiosincratica e quella pittografica, mentre a 4-5 anni usano prevalentemente segni iconici e iniziano ad usare numeri arabici mostrando maggiore capacità di astrazione; già a 5 anni il numero arabico è usato con familiarità, ma solo a 5-6 anni la maggior parte dei bambini dimostra di saper scegliere il simbolo corrispondente alla quantità (entro il 9 e con frequenti errori di specularità e rotazione 6/9).
In generale dunque, si possono osservare tre classi di notazione numerica:

notazione con grado informativo http:\\/\\/psicolab.neto per un osservatore esterno ma significativa per il bambino (formato grafico pittorico-figurativo);
notazione basata su corrispondenza biunivoca (segni astratti);
notazione convenzionale (numeri).

Non sempre il bambino usa il numerale secondo la convenzione, nella notazione mista ad esempio, combina il numerale con la corrispondenza biunivoca (scrivendo 3 3 3 o 1 2 3 per rappresentare la quantità tre). Ciò significa che la comprensione del valore simbolico del numerale è parziale, lo riconosce come sostituzione dell’oggetto ma non sa ancora usarlo come rappresentante della quantità, della numerosità. Un richiamo particolare va fatto per quanto riguarda la corrispondenza biunivoca, che si rileva già a 3 anni e si mantiene fino ai 10; questo dato permette di ipotizzare che questa notazione non sia solo una fase di transizione ma una modalità specifica di rappresentazione grafica del numero antecedente a quella standard, autonoma e parallela. Altri autori si sono concentrati sul riconoscimento e sulla comprensione del numero scritto (Pontecorvo) precisando che il riconoscimento precede la produzione grafica e avviene per fasi che implicano diversi livelli: dall’identificazione errata al quella parziale dei numeri più noti, fino a quella del numero corretto accompagnata dalla rappresentazione esatta della quantità corrispondente.
La capacità di lettura è un aspetto che va a completare il quadro dell’evoluzione della capacità di utilizzo del sistema simbolico dei numeri; nella codifica verbale di un numero, ogni cifra, in base alla sua posizione, assume un “nome” diverso, i meccanismi lessicali servono a selezionare tali nomi in modo adeguato; i numeri primitivi appartengono a tre ordini di grandezza: le unità, i “teens” (sottocategoria dei “dici”… 11, 12, 13…), le decine. Ogni elemento è caratterizzato anche dalla posizione che occupa nella classe, così il 5 occupa la quinta posizione nella classe unità, il 15 la quinta posizione in quelle dei “teens”, il 40 la quarta posizione in quella delle decine. Gli errori più frequenti nella lettura dei numeri dei bambini si distinguono in errori a livello di lessico di numero (riguardano cioè la produzione delle singole cifre ma non coinvolgono la posizione entro il numero), errori di lettura a base sintattica (dovuti a difficoltà nel riconoscimento delle posizioni delle cifre entro il numero, sono quindi legati alla sintassi del numero stesso). Si tratta quindi di errori di transcodificazione tra codice arabico-verbale e viceversa.
Per quanto riguarda lo sviluppo della comprensione simbolica Bialystock sostiene che il riconoscimento del numero scritto procede per fasi successive e complementari, implicando un’interdipendenza tra la capacità di leggere i numeri e di riconoscerne il corrispondente semante quantitativo. Secondo questo autore la comprensione simbolica di numeri e lettere implica diverse tipologie di relazione: quelle tra sistemi orali e scritti e quelle tra tali sistemi e i semanti corrispondenti. La comprensione simbolica dei numeri dovrebbe permettere di integrare le rappresentazioni degli stessi in modo che al numero che si dice “tre” corrisponda la scrittura arabica 3 e il suo semante quantitativo. Lo sviluppo di questa comprensione si articolerebbe nei seguenti stadi:

apprendimento delle notazioni orali dei numeri, i bambini sanno recitare la sequenza appresa ma non sanno distinguere uno a uno gli elementi nella scrittura e nel semante corrispondente;
rappresentazione formale, integra la capacità di riconoscere il nome verbale e la scrittura corrispondente al numero;
rappresentazione simbolica, dove la rappresentazione formale (nome e scrittura del numero) è integrata al riconoscimento della quantità corrispondente.

Dunque la funzione centrale è svolta dall’evoluzione dei meccanismi di riconoscimento preverbale delle quantità. Se prima di saper contare il bambino sa capire i fenomeni in termini di quantità, allora lo sviluppo della conoscenza numerica dipende da principi cognitivi innati. I modelli interpretativi presenti in letteratura sono duplici come abbiamo già visto: La teoria dei principi di conteggio ci dice che è la spinta evolutiva stessa a consentire l’origine e l’evoluzione completa della conoscenza numerica, la teoria dei contesti invece, riconosce un rapporto inscindibile tra sviluppo e apprendimento, dall’integrazione di principi appresi e innati, conoscenze quantitative e verbali e da tale integrazione dipenderebbero la competenza di conteggio e la capacità di usare il linguaggio simbolico del sistema numerico verbale e scritto.
Quando la scuola intorno ai sei anni insegna al bambino le prime operazioni di calcolo, convinta di iniziare il percorso di sviluppo e apprendimento dell’integrazione numerica, in realtà si sbaglia, in quanto ogni bambino avrà iniziato a intelligere il mondo attraverso i numeri già molto tempo prima.