Parlando di apprendimento delle abilità di calcolo, dobbiamo considerare sia i processi di sviluppo sia i meccanismi di apprendimento di tali abilità. Per quanto riguarda lo sviluppo delle abilità di calcolo possiamo considerare l’abilità di contare come esempio significativo di tale processo, considerando i 3 maggiori approcci teorici, ovvero la teoria dei principi del conteggio di Gelman e Gallisten, la teoria dei contesti diversi di Fuson e la teoria di Wynn che rappresenta un’integrazione delle precedenti.
La teoria dei principi di conteggio sostiene che i bambini piccoli posseggano un concetto innato di numero che si evolve nell’acquisizione delle procedure di calcolo attraverso i principi della corrispondenza uno a uno, dell’ordine stabile e della cardinalità. Il meccanismo del conteggio non verbale sarebbe la base dei principi che guidano l’abilità di conteggio verbale.
La teoria dei contesti diversi ipotizza che i principi del calcolo siano acquisiti attraverso esercizi ed imitazione; per i bambini piccoli le parole-numero non avrebbero alcun referente semantico di quantità, sarebbero solo una sequenza di suoni che possono essere recitati in modo meccanico. L’acquisizione delle abilità di conteggio dipenderebbe dall’apprendimento della sequenza numerica, dall’uso della corrispondenza uno a uno, dal riconoscimento del valore cardinale dei numeri e si può descrivere a livelli evolutivi distinti a cui corrispondono specifiche strutture numeriche concettuali.
La teoria di Wynn sostiene che spiegare l’apprendimento della conoscenza numerica significa considerare le suddette teorie insieme; i bambini arrivano a sapere che le parole-numero si riferiscono a insiemi di elementi tramite la sintassi delle parole-numero e tramite i contesti in cui sono usate. La rappresentazione dei numeri deve confrontarsi con il sistema linguistico, i bambini devono mettere in relazione la grandezza delle loro rappresentazioni di numerosità con le posizioni delle parole-numero.
(vedi paragrafo Sviluppo della Conoscenza Numerica).
Per quanto riguarda i meccanismi di apprendimento delle abilità di calcolo, sono necessarie sia la conoscenza numerica che le capacità di calcolo.
Per conoscenza numerica si intende l’insieme delle capacità che consentono a un bambino di capire le quantità e le loro trasformazioni (Lucangeli, 1999). Per la comprensione della quantità sono fondamentali i compiti di tipo semantico che individuano quanto vale un numero rispetto ad un altro (stimare la numerosità, comparare, seriazione e conteggio). Il riconoscimento del numero più grande tra due numeri presentati, decresce con l’aumentare della distanza numerica fra essi (3-4; 3-9), questo “effetto distanza” è identico nel riconoscimento dei numeri arabi come nel riconoscimento di parametri fisici come la numerosità di un insieme e significa che il confronto tra quantità è più difficile se le quantità sono simili tra loro. Probabilmente non si compie un confronto simbolico ma si procede a una rappresentazione e confronto di quantità. Le ricerche di Dehaene e collaboratori hanno evidenziato che anche i numeri arabi possono richiamare automaticamente un codice di quantità interno, una linea numerica che procede da sinistra a destra in cui la differenza tra due numeri sembra minore quanto più sono grandi i numeri confrontati (la differenza fra 62 e 69 è percepita come minore della differenza tra 3 e 10). È importante dunque facilitare l’apprendimento di capacità di stima della quantità, seriazione e comparazione; è necessario fare attenzione al tempo impiegato nel portare a termine un compito cognitivo, in quanto ci informa sul processo che il bambino mette in atto e sul suo livello di automatizzazione. Dunque la conoscenza numerica implica la comprensione semantica della quantità che è mediata dalla capacità di usare bene anche il sistema numerico, ovvero saper trasformare l’etichetta numerica nella quantità che rappresenta. Per questa trasformazione sono necessari meccanismi lessicali (riconoscimento del nome del numero, che significa che 15 non si legge uno-cinque ma quindici) e sintattici (valore posizionale della cifra, la sua grammatica interna che permette di capire la differenza tra 15 e 51) di lettura dei numeri.
Per capacità di calcolo intendiamo l’insieme dei processi che permettono di operare sui numeri tramite operazioni aritmetiche. Nell’apprendimento delle procedure di calcolo, i segni sono le prime informazioni che vengono elaborate, devono infatti essere riconosciuti per capire la natura dell’operazione, solo così si accede ai fatti aritmetici, combinazioni frequenti di numeri che vengono risolte attraverso il recupero dei risultati in memoria; se il compito non consente l’accesso diretto alla risposta entra in gioco la conoscenza procedurale che opera diversamente per il calcolo a mente e per quello scritto. Nel calcolo a mente consente di scomporre i numeri per avere operazioni intermedie più semplici, nel calcolo scritto mette in ordine la forma grafica dell’operazione e la direzione spazio/temporale delle azioni; si tratta dunque di strategie da un lato e procedure dall’altro.
La proprietà “dissociativa” in addizione e sottrazione, permette di scomporre un addendo, un minuendo o un sottraendo, in due o più addendi più piccoli procedendo per tappe intermedie. Anche nella moltiplicazione e nella divisione si possono usare scomposizioni, un fattore o un divisore sono il prodotto di due fattori più piccoli e più facili da elaborare. Nella moltiplicazione inoltre si usa anche la proprietà “distributiva”, secondo cui uno dei due fattori può essere trasformato in una somma o sottrazione e l’altro può essere moltiplicato per i termini ottenuti in modo separato, successivamente si esegue un’addizione o sottrazione tra i due prodotti recuperati in memoria. Altre proprietà sono: quella “invariantiva” della sottrazione (aggiungendo o sottraendo uno stesso numero ai due termini della sottrazione il risultato non cambia) e della divisione (moltiplicando o dividendo per uno stesso numero i due termini della divisione il risultato non cambia) e quella “commutativa” dell’addizione de della moltiplicazione, secondo cui cambiando l’ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia. Secondo Baroody si passa da processi lenti di conteggio, all’uso di regole applicate in modo automatico; l’uso di regole procedurali generalizzabili risulta essere cognitivamente più economico rispetto alla memorizzazione di ogni operazione base. Una confusione nell’uso di tali regole potrebbe causare effetti di interferenza fra le operazioni.
Se nei primi anni di scuola è fondamentale l’uso di strategie di conteggio, in seguito queste vengono sostituite da strategie di recupero mnemonico dei risultati dei calcoli e delle procedure. Siegler e Mitchell hanno rilevato in bambini di scuola per l’infanzia l’uso di almeno quattro strategie utili allo svolgimento di addizioni mentali: il conteggio con le dita esplicito, la strategia delle dita senza evidente conteggio, il conteggio verbale ad alta voce senza supporto delle dita, la mancanza di una strategia desumibile dal comportamento. La scelta della strategia non sarebbe guidata dalla consapevolezza metacognitiva, si tratta di un automatismo basato sul criterio interno del” livello di fiducia”, ovvero di una soglia sotto la quale il soggetto non si sente sicuro nel dare la risposta corretta. All’inizio si fissa il “livello di fiducia” relativo alla strategia di recupero, se la sicurezza nella risposta supera questa prima soglia il bambino tenta di recuperare la risposta in memoria, altrimenti rappresenta gli addendi in modo visibile, sulle dita, o attraverso un’immagine mentale. Se anche questa procedura è insufficiente il bambino conta gli oggetti rappresentati dando l’ultimo numero come risposta. La strategia di recupero sarebbe dunque quella del recupero e le altre sarebbero usate solo in caso che questa fallisca. Siegler ha poi aggiunto il concetto di “forza di attivazione” che incide sull’accuratezza e sulla velocità di esecuzione: la strategia di recupero non precede ogni altro procedimento ma è selezionata solo se la sua forza supera quella delle altre strategie associate; nella scelta al criterio di fiducia si aggiunge quello del tempo di ricerca in memoria, che non deve oltrepassare un limite prefissato. Con lo sviluppo e l’esercizio, la forza di attivazione del processo di recupero aumenta fino a divenire la strategia predominante.
Ashcraft invece, ipotizza che nei primi anni di scuola i processi di recupero e le strategie ricostruttive di conteggio operino insieme, i bambini non hanno ancora memorizzato le operazioni, perciò attivano contemporaneamente regole dichiarative e procedurali usando la strategia più veloce. In seguito si affida di più alla conoscenza dichiarativa in cui i calcoli con operatori ad una cifra sono rappresentati in memoria in una struttura a rete. Secondo questo modello negli adulti la conoscenza procedurale ha un ruolo marginale.
Baroody rivaluta la conoscenza procedurale, sostenendo che essa rende più efficace il calcolo mentale: da processi basati su procedure lente di conteggio, si passa ad usare una serie di regole automatizzate che rendono il lavoro più economico rispetto alla memorizzazione delle operazioni di base, si riduce cioè la quantità di informazione dichiarativa contenuta in memoria. La maggior parte delle operazioni ad una cifra potrebbe essere eseguita grazie a una conoscenza procedurale.
Le ricerche di Geary avvalorano l’ipotesi di una successione nell’acquisizione di strategie: inizialmente i bambini usano una procedura detta “counting all”, tendono cioè a contare sulle dita entrambe gli addendi sollevando una alla volta le dita (per eseguire 4+3 sollevano quattro dita, poi tre, poi contano il totale). Alla fine del primo anno di scuola si usa invece la strategia del “counting on”, il bambino inizia a contare dall’addendo maggiore e aggiunge quello minore, un’unità alla volta. La strategia più evoluta consiste nel guardare le dita senza contarle al fine di recuperare la risposta.
Levine et al., studiando lo sviluppo delle abilità di calcolo verbale e non nei bambini di 4-6 anni, hanno trovato che già a 4 anni i bambini eseguono correttamente operazioni di addizione e sottrazione non verbale con piccole quantità di oggetti, mentre i compiti verbali risultano più difficili. In una successiva ricerca di Huttenlocher, Jordan e Levine si riscontra che l’abilità di calcolo è già presente a 2-3 anni, quando i bambini sanno discriminare la numerosità di piccoli insiemi eseguendo semplici addizioni e sottrazioni presentate visivamente tramite oggetti concreti.
Per quanto riguarda le operazioni con risultati superiori al 100, queste non possono essere spiegate con il solo uso dei processi di recupero; alcuni studiosi ritengono che si proceda per risultati parziali, altri sostengono il ruolo della conoscenza procedurale. Beishuizen, analizzando addizioni di numeri a due cifre, ha osservato l’uso di una strategia chiamata “1010”, che divide entrambi gli operatori in decine e unità e poi li somma o sottrae separatamente, e l’uso di una strategia definita “N10”, ritenuta più evoluta, formale ed efficace, che scompone solo il secondo operatore in decine e unità sommate poi separatamente al primo.
